Beschreibung
Dezimalsystem
Das Dezimalsystem ist das "normale" Zahlensystem, das man kennt, es wird auch als Zehnersystem oder dekadisches System bezeichnet.
Im Dezimal werden alle zehn bekannten Ziffern verwendet (0-9).
(Über das Dualsystem habe ich schon in meinem ersten Blog etwas geschrieben, hier ist es aber nochmals detaillierter und ausführlicher erklärt.)
Aufgrund der Bedeutung in der Digitaltechnik ist es neben dem Dezimalsystem das wichtigste Zahlensystem.
Die allgemeine Bezeichnung der Zahlendarstellung ist "Binärzahl", da diese auch für binärcodierte Zahlen stehen kann.
Hexadezimalsystem
Im Hexadezimalsystem werden Zahlen in einem Stellenwertsystem mit der Basis 16 dargestellt.
In der Datenverarbeitung wird das Hexadezimalsystem sehr oft verwendet, da es sich hierbei eigentlich nur um eine komfortablere Verwaltung des Binärsystems handelt.
Dieses Zahlensystem verwendet 16 "Ziffern", da es aber eigentlich nur zehn Ziffern gibt, werden die restlichen sechs "Ziffern" als A - F dargestellt.
Das heisst, die 16 Ziffern sind folgende:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
Verwendung der Systeme
Auf das Dezimalsystem gehe ich hier nicht ein, daher fange ich direkt mit dem Binärsystem an.
Das Binärsystem verwendet als Stellenwertsystem die Basis 2
Im Binärsystem schreibt man immer von rechts nach links.
Die Basis 2 bedeutet, dass (von rechts nach links) immer die Basis 2 mit einem hinaufzählenden Exponenten gewertet wird.
Beispiel:
28
27 26 25
24 23 22 21
20
Der Wert der Zahl wird immer mittels Exponent ausgerechnet
Das heisst:
28 27 26 25 24 23 22 21 20
" 256 128 64 32 16 8 4 2 1
Mit diesen Zahlen (und den nachfolgenden) ist es nun möglich, jede beliebige Zahl durch addieren zu erhalten.
Wie man feststellen kann welche Zahlen man addieren muss, ist ganz einfach: An den Stellen, wo eine 1 steht, muss die Zahl gewertet werden, das bedeutet, jede Zahl, bei der eine 1 steht, muss addiert werden.
Beispiel:
Binäre Schreibweise: 0 1 0 1 1 1 0 0 0
Das heisst: 28 27 26 25 24 23 22 21 20
(Die grünen Zahlen werden addiert)
Bedeutet: 0 + 128 + 0 + 32 + 16 + 8 + 0 + 0 + 0 = 184
Vom Dezimalsystem ins Dualsystem:
184 : 2 = 92 Rest 0
Daraus ergibt sich eine binäre Schreibweise von: 10111000
Hexadezimalsystem
Das Rechnen mit dem Dezimalsystem ist ähnlich wie das Binärsystem.
Wie schon erwähnt, arbeitet das Hexadezimalsystem mit der Basis 16.
Auch hier schreibt man von rechts nach links.
Um es sich erleichtern zu können, sollte man mit einer Tabelle arbeiten.
Das rechnet man wie folgt aus:
Hexadezimal: 1 6 D
Wert: 162 161 160
Dezimalwert: 256 16 1
Rechnung: 1 * 256 + 6 * 16 + 13 * 1
256 + 96 + 13 = 365
Von Dezimalsystem ins Hexadezimalsystem:
Auch hier gibt es eine einfache Möglichkeit mit dividieren.
Diesmal wird jedoch durch 16 dividiert, daher kann es auch eine Restzahl von bis zu 15 ergeben, es wird dann auch hier berücksichtigt, dass die Zahlen 10 - 15 den Buchstaben A - F entsprechen.
Beispiel (mit einer grösseren Zahl):
Beispiel:
Hexadezimal: 2 2 F 8
Binär: 0010 0010 1111 1000
Das heisst die Hexadezimalzahl 22F8 wäre in Binär: 0010001011111000
Vorangehende Nullen können natürlich gestrichen werden " 10001011111000
Der Wert der Zahl wird immer mittels Exponent ausgerechnet
Das heisst:
28 27 26 25 24 23 22 21 20
" 256 128 64 32 16 8 4 2 1
Mit diesen Zahlen (und den nachfolgenden) ist es nun möglich, jede beliebige Zahl durch addieren zu erhalten.
Wie man feststellen kann welche Zahlen man addieren muss, ist ganz einfach: An den Stellen, wo eine 1 steht, muss die Zahl gewertet werden, das bedeutet, jede Zahl, bei der eine 1 steht, muss addiert werden.
Beispiel:
Binäre Schreibweise: 0 1 0 1 1 1 0 0 0
Das heisst: 28 27 26 25 24 23 22 21 20
(Die grünen Zahlen werden addiert)
Bedeutet: 0 + 128 + 0 + 32 + 16 + 8 + 0 + 0 + 0 = 184
Vom Dezimalsystem ins Dualsystem:
Um vom Dezimalsystem ins Dualsystem zu rechnen, gibt es mehrere Möglichkeiten. Die meiner Meinung nach einfachste ist folgende:
Man dividiert die Dezimalzahl, die man in binärer Schreibweise haben möchte, durch 2, den Rest, egal ob es einen gibt oder nicht, sollte man sich hintendran notieren, das erhaltene Ergebnis muss dann immer wieder durch2 dividiert werden, bis man Null erreicht hat, danach nimmt man die Restzahlen (von oben nach unten) und schreibt sie hintereinander auf (von rechts nach links).
Beispiel:
184 : 2 = 92 Rest 0
92 : 2 = 46 Rest 0
46 : 2 = 23 Rest 0
23 : 2 = 11 Rest 1
11 : 2 =
5 Rest 1
5 : 2 =
2 Rest 1
2 : 2
= 1
Rest 0
1 : 2 =
0 Rest 1
Daraus ergibt sich eine binäre Schreibweise von: 10111000
Hexadezimalsystem
Das Rechnen mit dem Dezimalsystem ist ähnlich wie das Binärsystem.
Wie schon erwähnt, arbeitet das Hexadezimalsystem mit der Basis 16.
Auch hier schreibt man von rechts nach links.
Um es sich erleichtern zu können, sollte man mit einer Tabelle arbeiten.
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Das rechnet man wie folgt aus:
Hexadezimal: 1 6 D
Wert: 162 161 160
Dezimalwert: 256 16 1
Rechnung: 1 * 256 + 6 * 16 + 13 * 1
256 + 96 + 13 = 365
Von Dezimalsystem ins Hexadezimalsystem:
Auch hier gibt es eine einfache Möglichkeit mit dividieren.
Diesmal wird jedoch durch 16 dividiert, daher kann es auch eine Restzahl von bis zu 15 ergeben, es wird dann auch hier berücksichtigt, dass die Zahlen 10 - 15 den Buchstaben A - F entsprechen.
Beispiel (mit einer grösseren Zahl):
8952 : 16 = 559 Rest 8 ® 8
559 :
16 = 34 Rest 15 ® F
34 : 16 = 2 Rest
2 ® 2
2 : 16 = 0 Rest
2 ® 2
Das ergibt dann eine Hexadezimalzahl von 22F8.
Von Binär in Hexadezimal und umgekehrt
Das Rechnen von Binär in Hexadezimal ist sehr leicht, man muss nur eine Tabelle haben, in der jede Hexadezimalzahl einem Binärcode zugeordnet ist.
| Hexadezimal | Binärcode |
| 0 | 0000 |
| 1 | 0001 |
| 2 | 0010 |
| 3 | 0011 |
| 4 | 0100 |
| 5 | 0101 |
| 6 | 0110 |
| 7 | 0111 |
| 8 | 1000 |
| 9 | 1001 |
| A | 1010 |
| B | 1011 |
| C | 1100 |
| D | 1101 |
| E | 1110 |
| F | 1111 |
Beispiel:
Hexadezimal: 2 2 F 8
Binär: 0010 0010 1111 1000
Das heisst die Hexadezimalzahl 22F8 wäre in Binär: 0010001011111000
Vorangehende Nullen können natürlich gestrichen werden " 10001011111000
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